Матричные вычисления в Mathcad


4 Пример артефакты дискретного Фурьепреобразования



14.1.4. Пример: артефакты дискретного Фурье-преобразования



При численном нахождении преобразования Фурье следует очень внимательно относиться к таким важнейшим параметрам, как объем выборки (в терминах листинга 14.1, xМАХ) и интервал дискретизации (?). Соотношение этих двух величин определяет диапазон частот (?0,?N), для которых возможно вычисление значений Фурье-спектра. В этой связи хотелось бы обратить внимание на три типичные опасности, которые могут подстерегать неподготовленного исследователя при расчете дискретного Фурье-преобразования и быть для него весьма неожиданными.

Влияние конечности интервала выборки

Во-первых, следует обратить внимание на само определение преобразования Фурье как интеграла с бесконечными пределами. Его численное отыскание подразумевает принципиальную ограниченность интервала интегрирования (просто в силу конечности объема выборки). Поэтому самым очевидным несоответствием будет поиск, вообще говоря, другого интеграла, отличного от интеграла Фурье. Влияние конечности интервала выборки проявляется главным образом на искажении его низкочастотной области. В качестве примера приведем Фурье-спектр гармонической функции с частотой 0.015. Для его расчета достаточно заменить в листинге 14.1 четвертую строку на равенство yi:=sin(2?0.915xi). Соответствующий Фурье-спектр изображен на Рисунок 14.7 (сверху — в обычном, а снизу — в более крупном масштабе) и демонстрирует не совсем правильное поведение в низкочастотной области. Как видно, спектр содержит довольно широкий максимум вместо одиночного пика, как было в случае средних частот сигнала на Рисунок 14.3.

Примечание 1
Примечание 1


Если быть точным, вместо спектра некоторой функции f (х) дискретное преобразование Фурье подразумевает вычисление спектра другой функции f (х)Ф(х), где Ф(х) — это функция-ступенька, равная единице в пределах расчетного интервала и нулю за его пределами. В частотной области это соответствует операции свертки означенных двух функций, что, конечно, искажает (неизвестный) точный спектр f (х). Для борьбы с проявлением конечности интервала выборки используются специальные методы, основанные на применении техники спектральных окон.



Примечание 2
Примечание 2


Из сказанного ясно, почему исследователя не должна смущать необходимость дополнения массива исходных данных нулями до размера 2" (чтобы можно было использовать алгоритм БПФ). По самому определению дискретного Фурье-преобразования, исходная функция и так предполагается равной нулю за пределами расчетного интервала, что приводит к неминуемым искажениям.










Начало  Назад  Вперед


Книжный магазин